根的判别式为什么是b²-4ac？

在数学领域中，二次方程是一个非常重要的概念。而二次方程的根的判别式——b²-4ac，则是解决二次方程根的问题的关键。那么，为什么根的判别式会是b²-4ac呢？本文将深入解析这一数学奥秘。

一、二次方程的背景

二次方程是指形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程。其中，a、b、c为实数，x为未知数。二次方程的解被称为方程的根。根据方程的系数和常数项，我们可以将二次方程分为三种情况：

在二次方程中，根的判别式b²-4ac起到了至关重要的作用。下面，我们将详细解析根的判别式。

二、根的判别式

此时，方程的图像与x轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根。根据韦达定理，这两个根分别记为x₁和x₂，它们满足以下关系：

x₁ + x₂ = -b/a
x₁ * x₂ = c/a

此时，方程的图像与x轴有一个交点，即方程有两个相等的实数根。根据韦达定理，这两个根相等，可以记为x。

此时，方程的图像与x轴没有交点，即方程没有实数根。但是，方程仍然有两个复数根，可以记为x₁和x₂。

三、案例分析

为了更好地理解根的判别式，我们来看一个具体的例子。

例：解方程x²-3x+2=0。

首先，我们可以计算出方程的系数：a=1，b=-3，c=2。

接下来，我们计算根的判别式：

b²-4ac = (-3)²-412 = 9-8 = 1

由于b²-4ac>0，方程有两个不相等的实数根。

根据韦达定理，我们可以得到：

x₁ + x₂ = -b/a = 3/1 = 3
x₁ * x₂ = c/a = 2/1 = 2

解得方程的两个实数根为x₁=1和x₂=2。

四、总结

通过本文的解析，我们了解了二次方程的根的判别式b²-4ac的重要性。这个判别式可以帮助我们判断二次方程的根的性质，从而解决方程的根的问题。希望本文对您有所帮助。