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如何用根的判别式求解方程的根的个数与符号？

在数学领域中，求解一元二次方程的根是基础且重要的内容。根的判别式是判断一元二次方程根的性质的工具，它可以帮助我们确定方程的根的个数与符号。本文将详细介绍如何利用根的判别式求解方程的根的个数与符号，并辅以实例进行分析。

一、一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的一般形式为：(ax^2 + bx + c = 0)，其中(a)、(b)、(c)为实数，且(a \neq 0)。

根的判别式为：(\Delta = b^2 - 4ac)。

根据判别式的值，我们可以判断一元二次方程的根的个数与符号：

当(\Delta > 0)时，方程有两个不相等的实数根。
当(\Delta = 0)时，方程有两个相等的实数根。
当(\Delta < 0)时，方程无实数根。

二、一元二次方程根的个数与符号的求解方法

计算判别式(\Delta)的值。
根据判别式的值，判断方程的根的个数与符号：
- 当(\Delta > 0)时，方程有两个不相等的实数根。根据公式(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a})和(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a})，可以求出方程的两个实数根。若(a > 0)，则两个实数根的符号相同；若(a < 0)，则两个实数根的符号相反。
- 当(\Delta = 0)时，方程有两个相等的实数根。根据公式(x = \frac{-b}{2a})，可以求出方程的实数根。若(a > 0)，则实数根为正；若(a < 0)，则实数根为负。
- 当(\Delta < 0)时，方程无实数根。此时，方程的根为复数。

三、案例分析

【案例1】：求解方程(x^2 - 3x + 2 = 0)的根的个数与符号。

解：首先计算判别式(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1)。

由于(\Delta > 0)，方程有两个不相等的实数根。根据公式(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = 2)和(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \times 1} = 1)，可得方程的两个实数根为(x_1 = 2)和(x_2 = 1)。由于(a = 1 > 0)，所以两个实数根的符号相同。

【案例2】：求解方程(x^2 - 2x - 3 = 0)的根的个数与符号。

解：首先计算判别式(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 16)。

由于(\Delta > 0)，方程有两个不相等的实数根。根据公式(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \times 1} = 3)和(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \times 1} = -1)，可得方程的两个实数根为(x_1 = 3)和(x_2 = -1)。由于(a = 1 > 0)，所以两个实数根的符号相反。

四、总结

通过以上内容，我们了解了如何利用根的判别式求解一元二次方程的根的个数与符号。在实际应用中，熟练掌握这一方法可以帮助我们快速判断方程根的性质，为后续的数学问题解决奠定基础。