根的判别式是如何影响方程根的性质的？

在数学领域，一元二次方程是基础且重要的部分。而根的判别式则是判断一元二次方程根的性质的关键。本文将深入探讨根的判别式是如何影响方程根的性质的。

一、根的判别式的定义

根的判别式，通常用字母Δ表示，是判断一元二次方程根的性质的重要工具。对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其判别式Δ的计算公式为Δ=b²-4ac。

二、根的判别式对根的性质的影响

案例分析：以方程x²-5x+6=0为例，计算其判别式Δ=b²-4ac=5²-4×1×6=25-24=1。由于Δ>0，所以该方程有两个不相等的实数根。

案例分析：以方程x²-4x+4=0为例，计算其判别式Δ=b²-4ac=4²-4×1×4=16-16=0。由于Δ=0，所以该方程有两个相等的实数根。

案例分析：以方程x²+4x+5=0为例，计算其判别式Δ=b²-4ac=4²-4×1×5=16-20=-4。由于Δ<0，所以该方程没有实数根。

三、根的判别式的实际应用

案例分析：以方程x²-3x+2=0为例，计算其判别式Δ=b²-4ac=3²-4×1×2=9-8=1。由于Δ>0，所以该方程有两个不相等的实数根。进一步求解可得x₁=1，x₂=2。

案例分析：假设某商品原价为x元，降价20%后售价为y元，且降价后的售价为100元。根据题意，我们可以列出方程0.8x=100。计算其判别式Δ=b²-4ac=0²-4×0.8×100=-320。由于Δ<0，所以该方程没有实数解，即不存在这样的原价。

四、总结

根的判别式是一元二次方程中非常重要的概念，它直接影响方程根的性质。通过计算判别式，我们可以快速判断方程的根的性质，从而解决实际问题。掌握根的判别式对于数学学习和实际问题解决具有重要意义。